domingo, 31 de agosto de 2008

COORDENADAS: UNA INTRODUCCION AL ESTUDIO METODOLÓGICO TOPOGRÁFICO

INTRODUCCION

Hace mucho tiempo, cuando un profesor de matemáticas del colegio cuyo nombre no recuerdo (felizmente) nos inculcó a resolver ciertos ejercicios matemáticos con la aplicación de coordenadas cartesianas, un mundo dantesco alborotó nuestras cabezas tratando de encontrar una utilidad ante aquella incertidumbre matemática. Desde ese momento, yo prometí a mi joven espíritu jamás volver a tocar o tratar de resolver un problema de tal magnitud que estuviera referida con las matemáticas. Las paradojas de la vida son tan grandes que tiempo después me llevó a culminar una carrera de Ingeniería en la cual descubrí con miedos al comienzo pero luego con admiración y reflexión que las mismas no son negativas ni inservibles, sino que condicionan una gama de posibilidades a encontrar soluciones en nuestro camino de vida; en pocas palabras, un pensamiento matemático te inclina a lograr desarrollar reflexiones mentales rápidas y concisas que promueven a encontrar respuestas de manera objetiva ante los problemas de la vida. Es común encontrar el divorcio entre ellas y la arqueología, pero con el avance de la metodología y del perfeccionamiento de los métodos con el objetivo de lograr reconstruir las situaciones teóricas del pasado, es más que necesario el uso de estas. Justamente, el uso de aquellas coordenadas tan nefastas de mi adolescencia son tan necesarias para poder implicar datos objetivos en el análisis del método y sobretodo de lograr aproximar un dato que nos sirve para la interpretación: su ubicación en el espacio tanto ya sea relativo como absoluto nos implica a poder entenderlas y conllevarnos de manera empática hacia su manipulación. Un sistema de coordenadas es simplemente un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclideo. Euclides fue uno de los grandes matemáticos griegos que estudio las propiedades del plano y del espacio tridimensional y propulsor de la geometría euclidiana, sinónimo en cierto modo para la mayoría de los investigadores formales de geometría plana.
En física, por ejemplo se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales, que forman 90 grados entre la intersección de sus líneas perpendiculares. Si hacemos memoria podemos encontrar que algún profesor de los mas conservadores en la materia determinaba sistemas de referencia el cual simplemente viene determinado por un punto de referencia (el clásico 0,0 que observamos en la intersección de las líneas perpendiculares) y un sistema de coordenadas complementarias que parte de este punto referencial que tiende a una contribución especifica, el cual podemos denotar en la aplicación de la denominada mecánica newtoniana donde se emplean dichos sistemas de referencia caracterizados por el punto de referencia denominado origen y el conjunto de ejes que pueden ser ubicados en un plano o en el espacio.

SISTEMAS DE COORDENADAS


En si, las matemáticas contribuyen a desarrollar ciertas aplicaciones para poder trabajar el método arqueológico, para eso se debe tener en cuenta sobre los sistemas de coordenadas más importantes y como podemos aplicarlo en nuestro trabajo como lo veremos a continuación:


1. Sistema de coordenadas cartesianas de tipo plana
Este sistema de coordenadas consisten en dos ejes ortogonales (ya sea si se trata de coordenadas planas). En el caso de coordenadas planas tenemos dos ejes, uno x denominado abcisa y el otro y denominado ordenada, que se cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y ordenada al eje y.


Fig.1. "Coordenadas cartesianas planas"



Como podemos observar en ese gráfico, los ejes dividen el espacio en cuatro espacios denominados cuadrantes, en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas, debido justamente a la posición de los cuadrantes en ella.
En arqueología, dividimos el espacio de trabajo en cuadrantes, los cuales son simplemente la colocación de líneas ortogonales y divididas en puntos de intersección con el fin de lograr precisión en la ubicación de los artefactos culturales durante un registro arqueológico de campo. La importancia de conocer esta noción de coordenadas y su aplicación a cuadrantes es fundamental porque nos permite obtener ubicación espacial de los mismos y trabajarlos según criterios arbitrarios del arqueólogo.

2. Sistema de coordenadas cartesianas de tipo espacial
En este caso los ejes ortogonales son 3 y podemos especificarlos en eje x, eje y y eje z.; dichos ejes forman ocho octantes los cuales podemos clasificar en base a su punto de intersección inicial (0,0,0) en tres planos de referencia denominados XY (z = 0), XZ (y = 0) e YZ (x = 0). Acá como veremos en un gráfico representativo veremos que los signos de las componentes cambian de positivo a negativo y que también encontramos dos posibilidades para el eje z que puede ser positivo (z > 0) o negativo (z <0)


La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto. En arqueología empleamos este eje z para determinar la cota de altura o de profundidad en caso de una representación de un volumen arquitectónico prehispánico, partiendo de un punto de referencia al cual denominamos arbitrariamente 0,0,0, o en cuadriculas a la hora de determinar profundidades los cuales nos conlleva a usar esta metodología espacial.


3. Sistemas de coordenadas cilíndricas esféricas
El sistema de coordenadas cilíndricas son usadas para parametrizar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional. Este sistema de coordenadas es una generalización respectiva del sistema de coordenadas polares plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia perpendicular a los otros dos. Si analizamos este sistema de coordenadas en el gráfico denotamos que la primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada que determina la altura del cilindro.


En el caso de utilizar equipo topográfico, como en el método de radiación, utilizamos el aparato denominado teodolito el cual nos permite determinar ángulos horizontales los cuales se realizan mediante el giro del mismo colocado sobre el trípode en dirección de giro azimutal o; es así que este tipo de coordenadas pueden ser obtenidas debido a que se realiza un giro y sobretodo si existe un desnivel especificado con respecto al plano de referencia, obtener la cota de altura, que en este caso se estaría representando por el punto P.


4. Sistemas de coordenadas esféricas
Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usan en espacios euclídeos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.


Para este tipo de coordenadas hay dos tipos de convenciones:

a) Convención norteamericana: Esta convención es usada por los matemáticos de Estados Unidos y podemos determinarla con los siguientes parámetros:


P (Radio): es la distancia entre el punto P y el origen.
φ (colatitud o ángulo polar ) de 0º a 180º es el ángulo entre el eje z y la línea que une el origen y el punto P
θ (acimut o longitud) de 0º a 360º es el ángulo entre el eje X positivo y la línea que une el origen con la proyección del punto P en el plano XY.

b) Convención no-norteamericana: La mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos intercambian los símbolos θ y φ, siendo:

θ la colatitud
φ el acimut.


En el SI, los rangos de variación de las tres coordenadas son:


5. Coordenadas Geográficas
Este tipo de coordenadas se usa para nombrar puntos sobre una superficie esférica y son de suma importancia para poder trabajar las denominadas coordenadas geográficas de latitud y longitud, que se pueden especificar en los formatos respectivos:

Grados Polares (DD Decimal Degree): Ej: 49.500-123.500
Grados: minutos (DM Degree:Minute). Ej: 49°30´0"
Grados: minutos: segundos (DMS Degree:Minute:Second). Ej: 49°30´0"
Otro sistema de coordenadas geográficas habitual es el sistema de Coordenadas UTM.



Este tipo de coordenadas son las que utilizaremos en cuestiones aplicativas y que veremos con mayor detenimiento y detenidamente en la próxima publicación. Como verán, las matemáticas son compatibles al trabajo de campo que conllevamos realizar, como una herramienta que nos permite gestionar datos objetivos con el fin de poder así sumar ala interpretación de los mismos que nos permitan una mejor explicación de los hechos culturales. La división entre ciencias formales y sociales debe conllevarse de la mano para así poder estipular una mejor ya eficaz labor a la hora de presentar nuestros resultados interpretativos.

Enzo Alfredo Nulli Perdicci

Cod:06150122